Soluzioni 1-AM3

Laura Di Gregorio

27 febbraio 2004

1. y = 0 è un integrale particolare. Si scriva l’equazione nella forma integrale

∫ \frac{dy}{y} = ∫ \frac{e^{2t}}{1 + e^{2t}} dt.

Integrando si ottiene

log |y| = \frac{1}{2} log(1 + e^{2t}) + cost

da cui segue che y = k\sqrt{1 + e^{2t}}, k costante. Si osservi che

• se k > 0 allora y > 0;

• se k < 0 allora y < 0.

2. y = 0 è un integrale particolare. Deve essere x ≠ ±1 affinché la funzione in x sia continua. Si scriva l’equazione nella forma integrale

∫ \frac{dy}{y} = ∫ \frac{2x}{x^{2} − 1} dx.

Integrando si ottiene

log |y| = log |x − 1| + log |x + 1| + cost

da cui segue che |y| = k|x^{2} − 1|, k costante.

3. Sia y ≠ x. Ponendo z = \frac{y}{x} con x ≠ 0 si ha

y′ = z′(x)x + z(x).

L’equazione integrale per z è:

∫ (\frac{1}{1 + z^{2}} − \frac{z}{1 + z^{2}} )dz = ∫ \frac{dx}{x} .

Integrando si ottiene

arctan z − \frac{1}{2} log(1 + z^{2}) = log |x| + cost.

Tornando alla variabile y si ottiene l’integrale generale in forma implicita:

arctan \frac{y}{x} − \frac{1}{2} log (\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} ) = log |x| + cost
= arctan \frac{y}{x} − \frac{1}{2} log(x^{2} + y^{2}) = cost.

4. Per t ≠ 0 l’equazione è a variabili separabili.

∫ (1 + y^{2})dy = 3 ∫ \frac{1}{t}dt.

Integrando si ottiene

y + \frac{y^{2}}{3} = 3 log |t| + c

che è l’integrale generale.