Soluzioni 12-AM3

Laura Di Gregorio

26 maggio 2004

1. Per applicare il teorema di Gauss Green occorre trovare una forma differenziale

ω = P dx + Qdy

di classe C^{1} in D tale che

Q_{x} − P_{y} = x^{2} .

In generale data una funzione f(x, y) è sempre possibile trovare due funzioni P (x, y) e Q(x, y) tali che Q_{x} − P_{y} = f(x, y) . Per esempio

P = 0  e  Q = ∫ f(x, y) dx .

Con questa scelta P = 0 e Q = x^{3}/3. Il bordo di D è composto dalla crf con raggio \sqrt{2} orientata positivamente e dalla crf di raggio 1 orientata negativamente, dunque l’integrale diventa

∫∫_{D} x^{2}dx dy = ∫_{∂^{+}D} \frac{x^{3}}{3} dy
= \frac{1}{3} ∫_{0}^{2π}(\sqrt{2} cos θ)^{3} d(\sqrt{2} sin θ) − \frac{1}{3} ∫_{0}^{2π} cos^{3} θ d sin θ
= \frac{4}{3} ∫_{0}^{2π} cos^{4} θ dθ − \frac{1}{3} ∫_{0}^{2π} cos^{4} θ dθ = \frac{3}{4}π

2. Si scriva

ω = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x)dx_{i} dove x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} .

In questo caso x = (x, y) ∈ ℝ^{2}. La forma è chiusa e, essendo ℝ^{2} stellato è anche esatta. Esiste f ∈ C^{1} tale che ω = df e

\frac{∂f}{∂x_{i}} = a_{i}(x).

Risulta

\frac{∂f}{∂x} = ye^{x}

dunque

f(x, y) = ∫ ye^{x}dx + g(y) = ye^{x} + g(y)

dove g è una funzione C^{1} che verifica

\frac{∂f}{∂y} = e^{x} + g′(y) = e^{x} − cos y .

Segue facilmente che

g(y) = − sin y + costante

da cui

f(x, y) = ye^{x} − sin y + costante .