Soluzioni 11-AM3

Laura Di Gregorio 26 maggio 2004

(i) E’ facile verificare che

div\overrightarrow{F} = 0

quindi dal teorema della divergenza, osservando che la normale uscente alla base della semisfera ( il disco D) è n⃗ = (0, 0, −1) abbiamo che

0 = ∫_{∂Σ} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ
= ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ + ∫_{D} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ
= ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ − ∫_{D} x^{2}dxd.

Passando in coordinate polari nel secondo integrale otteniamo

∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ − ∫_{D} x^{2}dxdy = ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ − ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{2π} r^{3} cos^{2} t dtdr
= ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ − ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{2π} r^{3} \frac{(1 − cos 2t)}{2} dtdr
= ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ − \frac{π}{4}

da cui segue ovviamente che

∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ = \frac{π}{4} .

(ii) Calcoliamo

∫_{γ^{+}} ω_{F}^{1} = ∫_{γ} y dx − y dy

e passando in coordinate polari otteniamo

∫_{γ} y dx − y dy = ∫_{0}^{2π} sin θ d(cos θ) − sin θ d(sin θ)
= − ∫_{0}^{2π} (sin^{2}θ + sin θ cos θ) dθ
= − ∫_{0}^{2π} sin^{2}θ dθ = −π.

(iii) Il teorema di Stokes dice che

∫_{γ^{+}} ω_{F}^{1} = ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ.

Abbiamo già calcolato il primo integrale

∫_{γ^{+}} ω_{F}^{1} = −π.

Applicando il teorema della divergenza al rot\overrightarrow{F} otteniamo che

∫_{V} div(rot\overrightarrow{F}) = ∫_{∂Σ} rot\overrightarrow{F} · n⃗ dσ.

E’ facile verificare che

div(rot\overrightarrow{F}) = 0

da cui segue immediatamente

∫_{∂Σ} rot\overrightarrow{F} · n⃗ dσ = 0

e da questo segue ancora

∫_{S} rot\overrightarrow{F} · n⃗ dσ = − ∫_{D} rot\overrightarrow{F} · n⃗ dσ.

La normale uscente al disco è, come già abbiamo osservato prima, n⃗ = (0, 0, −1), quindi basta calcolare la terza componente del rotore di \overrightarrow{F} ristretta al piano z = 0:

(rot\overrightarrow{F})_{3}|_{z=0} = 5x^{4}z^{100} − \frac{1}{1 + z^{2}} |_{z=0} = −1

e sostituendo nell’integrale si ottiene

− ∫_{D} rot\overrightarrow{F} · n⃗ dσ = − ∫_{D} dσ = −π

e dunque il teorema di Stokes è verificato.