AM3 -Esercitazione 11 A.A. 2003-2004

Prof. Luigi Chierchia, Dott. Laura Di Gregorio 26 maggio 2004

Esercizio

Siano S, D e γ i seguenti sottoinsiemi di ℝ^{3}: S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z > 0}, {x^{2} + y^{2} = 1, z = 0}, {x^{2} + y^{2} ≤ 1, z = 0} , e sia

\overrightarrow{F} = (\frac{y}{1 + z^{2}} , x^{5}z^{100} − y, z + x^{2}) .

(i) Si usi il teorema della divergenza per calcolare ∫_{S} \overrightarrow{F} · n⃗ dσ dove n⃗ è la normale esterna alla superficie chiusa Σ := S ∪ D. (ii) Si calcoli ∫_{γ^{+}} ω_{F}^{1} , dove γ^{+} è la curva γ orientata in senso antiorario nel piano {z = 0}. (iii) Si verifichi il teorema di Stokes per il campo \overrightarrow{F} sulla superficie S.