Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 21/5/2003

9.1 Sia C un sottoinsieme compatto in (ℝ^{n}, T_{e}). Verificare che F r(C) è compatto. 9.2 Siano a ⪇ b punti della retta euclidea. Dimostrare che X := [a, b]∩ℚ non è compatto trovando

un ricoprimento aperto di X che non possiede un sottoricoprimento finito. 9.3 Sia (X, T ) uno spazio topologico metrizzabile.

(i) Verificare che ogni sottoinsieme compatto C di (X, T ) è chiuso e limitato.

(ii) Verificare che esistono sottoinsiemi chiusi e limitati di uno spazio metrizzabile (X, T ) che

non sono compatti.

9.4 Verificare che l’insieme O(n, ℝ) delle matrici quadrate ortogonali di ordine n è un sottoinsieme compatto in (M(n, ℝ), T_{e}), dove M(n, ℝ) è l’insieme delle matrici quadrate di ordine n e dove T_{e} è la topologia indotta dalla topologia euclidea di ℝ^{n^{2}} tramite l’isomorfismo ℝ^{n^{2}} ≅ M(n, ℝ).

9.5 Determinare un esemipio di spazio topologico (X, T ) tale che:

(i) (X, T ) ha un sottoinsieme compatto non chiuso.

(ii) (X, T ) ha un sottoinsieme compatto con chiusura non compatta. 9.6 Dimostrare che ℙ^{n}(ℂ) è compatto per ogni n ≥ 1.