Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 14/5/2003

8.1 Si consideri il piano topologico reale ℝ^{2} e sia C la seguente curva affine di ℝ^{2}:

C := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y^{2} = x^{2}(x + 1)}.

(i) Verificare che C con la topologia euclidea indotta non è una varietá topologica.

(ii) Si dimostri che C − {(0, 0)} è una varietá topologica 1-dimensionale.

(Sugg. Per il punto (i) far vedere che esiste un punto di C tale che ogni suo intorno aperto non è omeomorfo ad un aperto di ℝ).

8.2 Sia T^{2} = S^{1} × S^{1} il toro 2-dimensionale (prodotto topologico di S^{1} per se stesso 2 volte). Dimostrare che T^{2} è una varietá topologica.

8.3 Sia L ⊂ ℝ^{2} l’insieme:

L := {(x, 0); x ≥ 0} ∪ {(0, y); y ≥ 0}.

Sia L dotato della topologia indotta dal piano euclideo.

(i) Dimostrare che L è una varietá topologica 1-dimensionale.

(ii) Determinare un atlante di carte locali per L.