Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 9/4/2003

6.1 Siano (X_{1}, T_{1}), (X_{2}, T_{2}) spazi topologici non vuoti. Dimostrare che:

(X_{1} × X_{2}, T_{1} × T_{2}) è separabile ⟺ (X_{1}, T_{1}) e (X_{2}, T_{2}) sono separabili.

6.2 Sia (ℝ^{2}, j_{s} × j_{s}) lo spazio topologico prodotto di (ℝ, j_{s}) per se stesso.

Sia F : (ℝ^{2}, j_{s} × j_{s}) → (ℝ, j_{s}) l’applicazione cosí definita:

F (x, y) = x + y, ∀(x, y) ∈ ℝ^{2}.

Verificare che F é continua.

6.3 Sia f : (X, T_{X}) → (Y, T_{Y}) un’applicazione continua e suriettiva tra spazi topologici.

(i) Verificare che se f è aperta o chiusa allora f è un’ identificazione.

(ii) Dare un esempio di un’ identificazione che non è ne aperta e ne chiusa.

6.4 Si consideri la seguente relazione di equivalenza su ℝ:

xρy ⇔ |x| = |y|.
Verificare che (ℝ/ρ, T_{e}/ρ) ≅ ([0, +∞), T_{e}).

6.5 Sia T := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x, y ≥ 0}.

Sia inoltre ρ la segunte relazione su ℝ^{2}:

(x, y)ρ(x′, y′) ⇔ |x| = |x|′ e |y| = |y′|.

Dimostrare che (T, T_{e}|_{T}) ≅ (ℝ^{2}/ρ, T_{e}/ρ), dove T ha la topologia euclidea di sottospazio e su ℝ^{2}/ρ c’ è la topologia quoziente.

6.6 In (ℝ, i_{s}) sia definita la seguente relazione di equivalenza:

xρy ⇔ y = ±x.

(i) Determinare la topologia quoziente i_{s}/ρ.

(ii) Verificare che (ℝ/ρ, i_{s}/ρ) è omeomorfo alla semiretta chiusa [0, +∞) con la topologia banale.