Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 26/3/2003

4.1 Consideriamo lo spazio (ℂ, T_{e}) dove T_{e} è la topologia su ℂ indotta dalla seguente metrica:

d(a, b) = |a − b|.

Sia S il seguente sottoinsieme di ℂ:

S := \{a ∈ ℂ : |a| = \frac{1}{n}, n ∈ ℕ^{∗}\}.

Determinare Int(S), Est(S), Fr(S), \overline{S}, D(S) e S^{∗}(l’insieme dei punti isolati di S).

4.2 Dimostrare che se uno spazio topologico ha una base numerabile di aperti allora è separabile. Dare un esempio in cui non vale il viceversa.

4.3 Sia (X, T ) uno spazio topologico saparabile. Siano T′ e T′′ due topologie su X tali che T′ ≤ T ≤ T′′.

(i) Dimostrare che (X, T′) è separabile.

(ii) Verificare con un esempio che (X, T′′) puó non essere saparabile.

4.4 Dato X insieme non vuoto. Siano T , T′ tue topologie su X con T ≤ T′. Sia {x_{n}}_{n≥1} una successione in X convergente ad un unico limite x in (X, T ).

(i) Verificare che se {x_{n}}_{n≥1} è convergente in (X, T′), allora converge ad x.

(ii) Determinare un esempio di successione convergente ad un unico limite in (X, T ) e non convergente in (X, T′).

4.5 Sia {x_{n}}_{n≥1} una successione in (ℝ, T_{cof}) formata da tutti elementi distinti tra loro. Verificare che {x_{n}}_{n≥1} converge ad ogni a ∈ ℝ. Dedurne che (ℝ, T_{cof}) non è metrizzabile.

4.6 Sia q : ℝ → ℝ l’applicazione cosí definita: q(x) = x^{2}, ∀x ∈ ℝ. Verificare che:

(i) q : (ℝ, T_{e}) → (ℝ, T_{e}) è continua;
(ii) q : (ℝ, i_{s}) → (ℝ, i_{s}) non è continua;
(iii) q : (ℝ, j_{s}) → (ℝ, j_{s}) non è continua.

4.7 Sia (ℝ, T_{cof}) la retta reale dotata della topologia cofinita.

Determinare un’applicazione f : (ℝ, T_{cof}) → (ℝ, T_{cof}) verificante le seguenti condizioni:

(i) f è chiusa, non aperta e non continua; (ii) f è aperta, non chiusa e non continua; (iii) f è continua, non chiusa e non aperta.

4.8 Sia f : (X, T_{X}) → (Y, T_{Y}) un’applicazione.

Dimostrare che: f è continua ⇔ ∀S ⊂ X, f(\overline{S}) ⊂ \overline{f(S)}.