Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 19/3/2003

3.1 Sia X un insieme. Sia C_{T_{con}} la seguente famiglia di parti di X:

C_{T_{con}} := {C ⊂ X : |C| ≤ |ℕ|} ∪ {X}.

Verificare che esiste una topologia T_{con} su X che ha C_{T_{con}} come famiglia di chiusi. Confrontare inoltre la topologia T_{con} con la topologia T_{cof} (topologia cofinita) su X.

3.2 Sia S := \{\frac{1}{n}, n ∈ ℕ^{∗}\}. Determinare la chiusura \overline{S} di S rispetto alle seguenti topologie di ℝ:

T_{cof}, i_{s}, i_{d}, T_{e}, j_{s}, j_{d}. 3.3 Sia S := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ≥ 0, y ∈ ℚ, y > 0\}. Determinare Int(S), Est(S), Fr(S), \overline{S}, D(S)

rispetto alla topologia euclidea di ℝ^{2}. 3.4 Sia A := (a, b] ∪ \{2b\} un sottoinsieme di ℝ. Determinare Int(A), Est(A), Fr(A), \overline{A}, D(A)

rispetto alla topologia j_{d} di ℝ. 3.5 Sia A un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Dimostrare che

(i) Fr(A) ⊃Fr(Int(A)); (ii) Fr(A) ⊃Fr(Est(A)); (iii) Fr(A) ⊃Fr(\overline{A})). Dare degli esempi in cui valgono le inclusioni strette.

3.6 Siano A, B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Verificare:

(i) Fr(A ∪ B) ⊂ Fr(A)∪Fr(B); (ii) Int(A ∩ B) = Int(A)∩Int(B), Int(A ∪ B) ⊃ Int(A)∪Int(B); (iii) \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B}, \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}. (iv) D(A ∩ B) ⊂ D(A)∩D(B), D(A ∪ B) = D(A)∪D(B). Trovare esempi in cui le inclusioni precedenti sono strette.