Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 12/3/2003

2.1 Sia (X, T ) uno spazio topologico discreto. Si consideri A = {{x}}_{x∈X} la famiglia di tutti i sottoinsiemi puntiformi di X. Sia B ⊂ T , dimostrare che

B è base per T ⇔ A ⊂ B.

2.2 Sia

B := {(a, b] : a, b ∈ ℚ, a < b}.

(i) Verificare che B è una base di una topologia T su ℝ.

(ii) Verificare che T_{e} ⪇ T ⪇ j_{s}, dove T_{e} è la topologia euclidea e dove j_{s} è la topologia su ℝ che ha come base gli intervalli limitati aperti a sinistra e chiusi a destra.

2.3 Sia S := {(n, n + 1], ∀n ∈ ℤ}.

(i) Determinare la topologia T su ℝ avente come base la famiglia delle intersezioni finite di elementi di S.

(ii) Dimostrare che T è strettamente meno fine di j_{s}.

(iii) Per ogni a ∈ ℝ, determinare un intorno U_{a} di a tale che per ogni altro intorno V_{a} di a si ha che U_{a} ⊂ V_{a}.

2.4 Sia n ≥ 2 e sia S(i; a, b) := {x ∈ ℝ^{n} : a < x_{i} < b} la striscia ortogonale all’asse i-esimo di ℝ^{n} ad estremi a, b ∈ ℝ, con a < b.

(i) Verificare che S(i; a, b) ∈ T_{e} (topologia euclidea di ℝ^{n}).

(ii) Sia S l’insieme di tutte le strisce di ℝ^{n}, verificare che la famiglia B_{S} costituita da tutte le intersezioni finite di elementi di S è una base per la topologia euclidea (ℝ^{n}, T_{e}).

2.5 Dato X insieme tale che |X| ≥ 3. Sia S := {X − {x}, ∀x ∈ X}.

Dimostrare che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di S sono una base per lo spazio (X, T_{cof}).

2.6 Dimostrare che gli spazi (ℝ, j_{d}) e (ℝ, T_{cof}) non hanno una base numerabile di aperti.