Universitá degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Matematica Corso di GE3 del Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2002/2003

Docente: Prof. M. Pontecorvo - Esercitatore: Dott. L. Di Marco - Tutori: L. Di Biagio, P. Tranquilli

Tutorato del 6/3/2003

1.1 Sia d una metrica su un insieme finito X. Dimostrare che d é topologicamente equivalente alla metrica discreta su X.

1.2 Dimostrare che ognuna delle seguenti è una distanza in ℝ^{n}:

d_{1}(x, y) :=∥ x − y ∥;

d_{2}(x, y) := ∑_{i=1}^{n} |x_{i} − y_{i}|;

d_{3}(x, y) := max_{i}{|x_{i} − y_{i}|}.

Dimostrare inoltre che su ℝ^{n} le tre distanze d_{1}, d_{2}, d_{3} sono topologicamente equivalenti.

1.3 Trovare tutte le topologie su un insieme X = {a, b, c} costituito da tre elementi.

1.4 Sia {T_{i}}_{i∈I} una famiglia di topologie su un insieme X. Dimostrare che ⋂_{i∈I} T_{i} è una topologia su X. Dare invece un esempio di due topologie T_{1}, T_{2} su un insieme X tali che T_{1} ∪ T_{2} non sia una topologia.

1.5 Si considerino su ℝ le seguenti topologie:

T_{cof} := {A ⊂ ℝ : |ℝ − A| ⪇ ∞} ∪ {∅};
j_{d} := {A ⊂ ℝ : ∀x ∈ A, ∃ a, b ∈ ℝ, a ⪇ b, tale che x ∈ [a, b) ⊂ A};
j_{ds} := {A ⊂ ℝ : ∀x ∈ A, ∃ a, b ∈ ℝ, a ≤ b, tale che x ∈ [a, b] ⊂ A}.

Si consideri inoltre la topologia euclidea T_{e} su ℝ. Dimostrare che vale la segunte relazione tra le quattro topologie:

T_{cof} ⪇ T_{e} ⪇ j_{d} ⪇ j_{ds}.

1.6 Sia S := {(−∞, a], ∀a ∈ ℝ} ∪ {ℝ, ∅}.

Verificare che S non è una topologia su ℝ. Determinare la piú piccola topologia su ℝ che contiene S (topologia generata da S).